数学老师们经常要制作一些方程组的考题,手工出题费时费力,而且容易出错。其实,我们只要借助Excel就能轻松地制作出各种常见的方程组,不仅清晰准确,而且易于变化并可以自动求值。下面以在Excel 2019中制作二元一次方程组试题为例。
二元一次方程的标准式是ax+by=c(a、b≠0),因此要在Excel中生成这类方程,我们只要准备a、b、c这三个常数和x、y两个变量,然后将其组合在一起即可。当然在实际制作中,我们还要考虑方程组必须有解。
○常数和变量的设置
首先新建一个Excel文档,在A1、B1、C1单元格中分别输入系数a、b、c,接着在A2单元格中输入公式“=RANDBETWEEN(2,9)”,将公式填充到A3单元格。A4单元格留空作为方程组间隔行,选中A2:A4区域并下拉填充,完成系数a的输入。同上在B2单元格中输入公式“=RANDBETWEEN(-50,50)”(可以任意设置,这里只是以-50到50数字为例),在C2单元格中输入公式“=RANDBETWEEN(-10,10)”,也下拉填充,完成系数b、c的输入(图1)。
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公式解释:
A2单元格公式“=RANDBETWEEN(2,9)”表示随机填充2到9之间的整数作为系数a的值,这样既可以排除系数a=0的情况,又可以避免方程式中出现类似“1x+2y=3”的情况。对于系数b、c则可以任意设置,然后通过IFS函数来进行b=0和b=1的判定。
继续在D2、D3单元格中输入x,E2、E3单元格并输入y,D4、E4留空;同上下拉公式后完成常数和变量的设置。
○生成方程组并添加无解判断条件
完成上述的设置后,定位到F2单元格中输入公式“=IFS(B2<0,A2&D2&B2&E2&"="&C2,B2=0,"无解",B2=1,A2&D2&"+"&E2&"="&C2,B2>1,A2&D2&"+"&B2&E2&"="&C2)”,填充公式到F3单元格,F4留空,同上下拉填充,这样在F列就可以看到生成的方程组了(图2)。
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公式解释:
默认生成方程的格式是“A6&D6&"+"&B6&E6&"="&C6”,这里通过IFS函数对B2(即系数b)进行判断,如果是负数,则使用“A2&D2&B2&E2&"="&C2”的形式(即取消“+”的连接),如果是0则显示无解,如果是1则用“A2&D2&"+"&E2&"="&C2”的形式(即取消系数b的显示),否则使用默认格式生成。
在上面的操作中我们通过公式“=RANDBETWEEN(2,9)”排除a=0的情况,通过IFS函数为b=0的情况添加“无解”标注。不过在方程组中还有一种情况是无解的,即A2*B3=A3*B2时(因为x=(C2*B3-C3*B2)/(A2*B3-A3*B2),被除数不能为0),因此我们还要再添加这个判定条件。
定位到G2单元格并输入公式“=IF($A2*$B3=$A3*$B2,"无解","")”(即使用IF函数对被除数进行判断,若为0则显示“无解”,否则为空),G3、G4留空,选择G2:G4区域并下拉填充公式。同时为F、G列添加一个“包含文本无解时,单元格填充为红色显示”的条件格式,这样只要在F列生成无解的方程组就可以醒目地标示了(图3)。
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○生成方程组答案
对于F列生成的方程组,通过运算可以知道x=(C2*B3-C3*B2)/(A2*B3-A3*B2),y=(C2-A2*G2)/B2,其中的A2、B2、C2、A3、B3、C3分别对应不同的常量a、b、c。我们可以通过上述的算式求取答案,在H2单元格中输入“x=”,I2单元格中输入公式“=(C2*B3-C3*B2)/(A2*B3-A3*B2)”。继续在J2单元格中输入“y=”,K2单元格中输入公式“=(C2-A2*G2)/B2”,按提示下拉就可以求出每个方程组的解了(图4)。
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不过默认求出的解是小数形式,现在需要将其转换为分数形式。选中I、K列,右击并选择“设置单元格格式→自定义”,在右侧的窗格中输入“???/???”作为自定义分数的格式即可(图5)。
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小提示:
这里不能直接使用Excel内置的分数格式,因为Excel默认对于假分数(方程组中的解很多都为假分数)是使用带分数的形式,比如5/4会变为“1 1/4”的形式展示,不方便学生们查看。不过使用上述自定义格式后,整数解也会变为分数的形式,如5会变为5/1,查看答案时稍微注意一下即可。
○复制可用的方程组
在上述文档中,系数a、b、c是随机输入,如果出现无解的方程组时,我们只要再次按下F9键刷新一下数据,这样又可以重新生成新的方程组,如果要生成更多的方程组,还可以选择A1:L33区域,然后向右填充即可,这样每次只要按下F9键就可以快速生成很多试题了(图6)。
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完成方程组的生成后全选复制(可以隐藏不需要的列),新建工作表并依次点击“开始→粘贴→选择性粘贴→粘贴为图片”,将这些图片打印出来后就可以给学生练习了(图7)。
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当然,我们还可以用上述方法制作一个二元一次方程的解题模板,比如可以直接复制图5的A1:K33区域中的内容到新的工作表,接着将A2:C3区域中的公式删除,这样当我们得到一个方程组时,只要在A2:C3区域中输入a、b、c系数,就可以快速得到答案了(图8)。
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来源:CFAN




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